Universidad Michoacan de San Nicolás de Hidalgo

El álgebra

Hubo una Bagdad de ensueño, la del califato de las mil y una noches, que albergó en su seno la Casa de la Sabiduría. En aquel hogar del conocimiento habitó Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi (780-850 d.C.). Y flanqueado por la geometría del mosaico, cuando la paz permite la erudición y la ciencia, engendró una de las principales disciplinas de la matemática: el álgebra.

La palabra árabe jabr significa restaurar, en el sentido médico de colocar de nuevo en su lugar un miembro dislocado. De hecho, en la literatura medieval era usual el empleo del término algebrista para referirse al galeno que arreglaba los huesos fuera de sitio. El concepto de restauración, o reposición, está tan arraigado en el tratado del álgebra de al-Jwarizmi que la mitad de la obra se dedica a la resolución de litigios de testamentos y divorcios. Y es así como el álgebra de al-Jwarizmi nos recuerda que las matemáticas, desde sus orígenes, siempre estuvieron cerca del ciudadano: permiten la resolución de problemas cotidianos.

El libro del álgebra de al-Jwarizmi se antoja imprescindible para todo científico interesado en la historia de la ciencia y para todo filólogo árabe. Curiosa confluencia, propia de la tercera cultura. Y, además, los docentes podrán extraer material con el que completar sus clases, y recordar a su alumnado los mundanos orígenes de las matemáticas: cómo la geometría se originó con la medida de tierras en las crecidas del Nilo, y el álgebra con el reparto de dotes y herencias, intentando restaurar así los daños causados por los divorcios o la muerte. Hubo una Bagdad de ensueño, la del califato de las mil y una noches, que albergó en su seno la Casa de la Sabiduría. En aquel hogar del conocimiento habitó Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi (780-850 d.C.). Y flanqueado por la geometría del mosaico, cuando la paz permite la erudición y la ciencia, engendró una de las principales disciplinas de la matemática: el álgebra.

La palabra árabe jabr significa restaurar, en el sentido médico de colocar de nuevo en su lugar un miembro dislocado. De hecho, en la literatura medieval era usual el empleo del término algebrista para referirse al galeno que arreglaba los huesos fuera de sitio. El concepto de restauración, o reposición, está tan arraigado en el tratado del álgebra de al-Jwarizmi que la mitad de la obra se dedica a la resolución de litigios de testamentos y divorcios. Y es así como el álgebra de al-Jwarizmi nos recuerda que las matemáticas, desde sus orígenes, siempre estuvieron cerca del ciudadano: permiten la resolución de problemas cotidianos.

El libro del álgebra de al-Jwarizmi se antoja imprescindible para todo científico interesado en la historia de la ciencia y para todo filólogo árabe. Curiosa confluencia, propia de la tercera cultura. Y, además, los docentes podrán extraer material con el que completar sus clases, y recordar a su alumnado los mundanos orígenes de las matemáticas: cómo la geometría se originó con la medida de tierras en las crecidas del Nilo, y el álgebra con el reparto de dotes y herencias, intentando restaurar así los daños causados por los divorcios o la muerte.

Libro de Baldor

El libro, álgebra de Aurelio Blador, será el libro de cabecera de nuestro curso de Matemáticas I. En esta drección podrás encontrarlo: http://www.scribd.com/doc/392809/ebook-Spanish-ALGEBRA-A-BALDOR

Aquí tienes dos direcciones, donde puedes conseguir los ejercicios para realizar las tareas: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm y esta otra: http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm

Bienvenidos

Sean bienvenidos, estaremos trabajando en este esquema con mis alumnos de la Prepa, cualquier tema de interés que surja durante la clase, dare una primera aproximación en este blog, para después discutirlo con  más amplitud y precisión durante las sesiones presenciales en el salón de clases.

Espero que disfruten y les sea provechoso su ingreso a la Universidad Michoacana

Los apuntes del curso de Matemáticas I, los encontraras disponibles en este sitio: www.epler.umich.mx/salvadorgs

Estamos en la Escuela Preparatoria Lázaro Cárdenas, la cual es dependiente de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, y nos encontramos en Uruapan, Michoacán, México.

El libro Álgebra de Aurelio Baldor

Algebra, Aurelio Baldor
576 paginas Lenguaje : Español | PDF | 40 MB

Descripción:

En toda escuela se recomienda este libro para hacer ejercicios y practicar cualquier tema de matemáticas de secundaria y preparatoria. Incluso este libro era una de las mejores fuentes para estudiar para los exámenes de admisión para las universidades.

Cada capítulo del libro comenzaba con la imagen y breve biografía de algún erudito de las matemáticas (Pitagoras, Arquímedes, etc.). Luego venía la parte teórica y finalmente un montón de ejercicios con distintos grados de dificultad. No había rama del Algebra que este libro no explicará con claridad y amplitud.

Aurelio Baldor, el autor del libro más famoso de Matemáticas, nació en Cuba en 1906. El creador del Algebra de Baldor era un apacible abogado y matemático que se encerraba durante largas jornadas en su habitación, armado sólo de lápiz y papel, para escribir un texto que desde 1941 es la biblia de las matemáticas de bachillerato. Aurelio Baldor murío en Miami en 1978.

El Álgebra de Baldor, en su portada tradicional tiene la imagen del matemático Al Juarismi, razón por la cual algunos pensaban que fue escrito por algun árabe. También existe el libro de Aritmética de Baldor y otro de Geometría y Trigonometría.

http://rapidshare.com/files/195277052/baldor.rar

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Ejercicio 67 del libro álgebra de Baldor

Producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b)

Binomio con un término común

El producto de dos binomios del tipo  es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

Escribir, por simple inspección, el resultado de:

Ejercicio 10 del libro álgebra de Baldor

Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases.

En esta dirección encontraras para

http://www.scribd.com/doc/852477/Ejercicio-10-del-libro-de-algebra-de-Baldor

Ejercicio 64 del libro álgebra de Baldor

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
La suma de dos cantidades multiplicada luego por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (de la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Binomios conjugados
El binomio conjugado de uno dado, es otro binomio que se diferencia únicamente por el signo de uno de los términos.

Escribir, por simple inspección, el resultado de:

2352.- \left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )^{3}

Ejercicio 66 de libro álgebra de Baldor

Cubo de un binomio
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Desarrollar:

François Viète

Algunas personas que han pasado por aquí, se han detenido a preguntar por François Viète. Ni modo, tuve que hacer un copy&paste desde Wikipedia, así que:

François Viète fue un matemático francés (Fontenay-le-Comte, 1540 – París, 1603). Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación con letras. François Viète también fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.

Los matemáticos del Renacimiento se sentían continuadores de las matemáticas griegas, que son fundamentalmente geometría. En la época de Viète el álgebra, derivada de la aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas. Algunos matemáticos, entre los que se cuenta Cardan en 1545, utilizaban razonamientos geométricos para justificar métodos algebraicos.

Así, la geometría parecía ser un instrumento seguro y potente para resolver cuestiones algebraicas, pero la utilización del álgebra para resolver problemas geométricos parecía mucho más problemática. Y, sin embargo, ésa era la propuesta de Viète.

A partir de 1591, Viète, que era muy rico, empezó a publicar a sus expensas la exposición sistemática de su teoría matemática, a la que llama logística especiosa (de specis: símbolo) o arte del cálculo sobre símbolos.

La logística especiosa procede en tres tiempos:

* En un primer tiempo, se anotan todas las magnitudes presentes, así como sus relaciones, utilizando un simbolismo adecuado que Viète había desarrollado. A continuación, se resume el problema en forma de ecuación. Viète llama a esta etapa la zetética. Escribe las magnitudes conocidas como consonantes (B, D, etc.) y las magnitudes desconocidas como vocales (A, E, etc.).

* El análisis porístico permite a continuación transformar y discutir la ecuación. Se trata de encontrar una relación característica del problema, la porisma, a partir de la cual se pueda pasar a la siguiente etapa.

* En la última etapa, el análisis rético, volvemos al problema inicial del que exponemos una solución por medio de una construcción geométrica basada en la porisma.

La logística especiosa tuvo una posteridad muy limitada. Viète no era el primero que proponía la notación de cantidades desconocidas con letras. Además, sus notaciones matemáticas son muy pesadas, y su desarrollo algebraico, que no consigue separar con claridad álgebra y geometría hace necesario un largo desarrollo en los problemas más complejos. Su álgebra se olvidó pronto, apartada por la geometría cartesiana.

Sin embargo fue el primero que introdujo la notación para los datos de un problema (y no sólo para las incógnitas), y se dio cuenta de la relación existente entre las raíces y los coeficientes de un polinomio.

La principal originalidad de Viète consistió en afirmar el interés de los métodos algebraicos y en tratar de hacer una exposición sistemática de dichos métodos. No dudó en afirmar que gracias al álgebra se podrán resolver todos los problemas (Nullum non problema solvere).

Ejercicio 29 del libro álgebra de Aurelio Baldor

Suma y resta combinadas con coeficientes fraccionarios

http://www.scribd.com/doc/852480/Ejercicio-29-del-libro-de-algebra-de-Baldor

Ejercicio 29 del libro de álgebra de Baldor

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Tarea 3 Ejercicio 29 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios 1 De 3 1 2 3 a restar la suma de a + b con − a + b 4 2 3 4 13 32 3 3 5 a + a restar la suma de a − 6 con a 2 − a 3 2 5 8 5 6 1 1 2 2 a − b de la suma a + 3b con 6 − a − b 5 6 5 3 13 1 32 2 1 5 x + − x con 6 − x + x 2 de − x 3 3 57 9 14 6 2 De 3 Restar 4 Restar la suma de 5 De la suma de 74 3 2 1 13 a con − a 3 + a 2 restar a − − a 4 2 7 5 5 34 1 2 1 2 1 5 2 x + y − z con 3 − z − y de y − 2 3 4 5 9 9 5 6 Restar la suma de − 7 De 13 13 3 3 1 5 2 a − b restar la suma de − a 2 + ab 2 − b 3 con a 2b − ab 2 + b3 2 3 2 4 8 6 3 1 2 1 3 2 1 1 5 a − b con b − c restar la suma b + c con − c − b 2 9 3 5 3 5 10 9 13 12 1 3 3 1 1 2 1 a + a + con − a − a 2 − de la suma de a 2 − a + con 3 8 5 4 5 10 4 3 4 8 De la suma de 9 Restar la suma de 29 2 1 3 1 a+ a− 40 3 8 − 10 32 5 2 3 1 1 2 2 1 x − xy + y 2 con − xy − y 2 + restar la suma x 2 − y 2 + xy 5 6 9 2 3 4 9 3 9 17 2 22 32 1 con x− xy − y − 45 9 2 2 De la suma de 11 23 13 3 3 1 1 1 1 a − b con − a 2b + ab 2 + b3 de la suma de a 2b + ab 2 − 7 5 4 8 10 2 4 5 52 1 2 33 1 con − a b + ab − b − 4 8 2 2 Restar la suma de 12 5 4 24 1 1 2433 2 5 m − n restar la suma de m 2n 2 − mn3 − n 4 ; m + m n − m 2n 2 + n 4 con 14 5 3 4 7 5 5 3 1473 1 22 24 m − m n+ m n − n 14 20 4 3 De 13 De 5 restar la suma de 1 1 3 1 2 1 1 1 3 x+ y; y − z ; z + m; − m+ n+ 2 3 4 6 5 4 2 3 8 14 3 13 1 3 5 3 2 3 1 2 − a + a 4 de la suma a 3 − a + a 4 ; − a + 5 − a 2 ; − a 3 + a 2 − ; 8 12 2 5 6 8 3 4 6 3 3 1 39 8 − a4 + a3 + a + 8 6 40 11 Restar RESPUESTAS 1 De 3 1 2 3 a restar la suma de a + b con − a + b 4 2 3 4 1 +b 2 2 3 −a +b 3 4 3−2 2+3 a+ b 3 4 1 5 a+ b 3 4 a = 5 5 a− b 12 4 3 a 4 1 5 −a−b 3 4 9−4 5 a− b 12 4 5 5 a− b 12 4 2 De 1 a 2 3 + 3 a 5 2 restar la suma de 3 3 5 a − 6 con a 2 − a 3 8 5 6 3 a−6 8 5 3 − a3 + a 2 6 5 5 3 3 − a3 + a 2 + a − 6 6 5 8 13 32 a+ a 2 5 53 32 3 a − a − a+6 6 5 8 3+5 3 3 − a+6 a 6 8 83 3 a − a+6 6 8 = 43 3 a − a+6 3 8 3 Restar 1 1 2 2 a − b de la suma a + 3b con 6 − a − b 5 6 5 3 3 7 + 3b a + b+6 a 5 3 2 2 1 1 −a − b+6 −a +b 5 3 5 6 5−2 9−2 3 −1 14 + 1 a+ b+6 a+ b+6 5 3 5 6 3 7 2 15 a+ b+6 a+ b+6 5 3 5 6 = 2 5 a+ b+6 5 2 4 Restar la suma de 13 1 32 2 1 5 x + − x con 6 − x + x 2 de − x 3 3 57 9 14 6 13 3 1 5 + − x3 x − x2 3 7 5 6 122 1 5 2 31 − x3 + x 2 + x − x − x +6 14 9 3 14 9 5 1 3 − 6 +1 2 2 30 + 1 31 −5− 2 3 5 2 2 x+ x − x+ x + x + x− 3 14 9 5 6 14 9 5 13 5 2 2 31 7 5 2 31 − x3 + x 2 + x − x − x − x+ 3 14 9 5 6 14 9 5 7 5 2 = − x3 + x 2 + x − 6 1 5 6 14 9 5 De la suma de 74 3 2 1 13 a con − a 3 + a 2 − 6 restar a − − a 4 12 7 5 5 34 74 33 22 −6 a− a+ a 12 7 5 74 a 34 1 1 12 −a+ a 3 2 4 5 3 − a3 + a 2 − 6 7 5 7+9 4 3 3 2 2 1 − 18 + 1 a − a + a − a+ 7 4 33 22 12 7 5 5 3 a − a + a −6 16 4 3 3 2 2 1 17 12 7 5 a − a + a − a− 12 7 5 5 3 = 44 33 22 1 a − a + a − a−52 3 3 7 5 5 6 Restar la suma de − 1 2 1 2 1 5 2 x + y − z con 3 − z − y de y − 2 3 4 5 9 9 5 1 2 1 −z x+ y 2 3 4 1 2 − y − z +3 9 5 1 6 −1 −5−8 − x+ y+ z +3 2 9 20 1 5 13 − x+ y− z+3 2 9 20 − 5 2 − y 9 5 1 5 13 −3 x− y + z 2 9 20 1 5−5 13 − 2 − 15 x+ y+ z+ 2 9 20 5 1 0 13 17 x+ y+ z− 2 9 20 5 = 1 13 x+ z −32 5 2 20 7 De 13 13 3 3 1 5 2 a − b restar la suma de − a 2b + ab 2 − b 3 con a 2b − ab 2 + b3 2 3 2 4 8 6 3 3 3 − a 2b + ab 2 − b3 2 4 12 5 2 ab − ab 2 + b3 8 6 3 9 − 10 2 − 3 + 2 3 − 12 + 1 2 a b+ ab + b 8 12 3 11 1 1 − a 2b − ab 2 − b3 8 12 3 = 1 3 11 2 1 a + a b + ab 2 2 8 12 1 − b3 3 11 2 1 1 a b + ab 2 + b3 8 12 3 1 3 11 2 1 −1 +1 3 a + a b + ab 2 + b 2 8 12 3 1 3 11 2 1 a + a b + ab 2 2 8 12 13 a 2 8 De la suma de 1 2 1 3 2 1 1 5 a − b con b − c restar la suma b + c con − c − b 2 9 3 5 3 5 10 9  1 2  1 3    2 1  1 5   2 a − 9 b  +  3 b − 5 c   −  3 b + 5 c  +  − 10 c − 9 b   =        1 1  3   2 5  1 1  2  2 a +  − 9 b + 3 b  − 5 c  −  3 b − 9 b  +  5 c − 10 c  =        1 1 3  1 1  − 2 + 3  3   6 − 5   2 − 1   1  2 a +  9 b  − 5 c  −  9 b  +  10 c  =  2 a + 9 b − 5 c  −  9 b + 10 c  =           1 1 3 1 1 1 13 1 1 a + b − c − b − c = a +  b − b +  − c − c  = 2 9 5 9 10 2 95 10  9 1 7 1 −1   − 6 −1  1 a+ b +  c = a − c 2 10  9   10 2 = 1 7 a− c 2 10 9 Restar la suma de 29 2 1 3 1 a+ a− 40 3 8 13 12 1 3 3 1 1 2 1 a + a + con − a − a 2 − de la suma de a 2 − a + con 3 8 5 4 5 10 4 3 4 −  1 2 2 1   1 3 29 2 1    1 3 1 2 1   3 2 3 1   4 a − 3 a + 4  +  3 a − 40 a − 8   −  3 a + 8 a + 5  +  − 5 a − 4 a − 10   =         1 3  1 2 29 2  2  1 1   1 3  1 2 3 2  3  1 1   3 a +  4 a − 40 a  − 3 a +  4 − 8   −  3 a +  8 a − 5 a  − 4 a +  5 − 10  =            1 3  10 − 29 2  2  2 − 1   1 3  5 − 24 2  3  2 − 1   3 a +  40 a  − 3 a +  8  −  3 a +  40 a  − 4 a +  10  =           1   1 3 19 2 3 1  1 3 19 2 2  3 a − 40 a − 3 a + 8  −  3 a − 40 a − 4 a + 10  =    1 3 19 2 2 11 19 3 1 a − a − a + − a3 + a 2 + a − = 3 40 3 83 40 4 10 3  1 1   1 3 1 3   19 2 19 2   2  a − a  + − a + a  + − a + a +  −  = 3   40 40   3 4   8 10  3 21 1  1 − 1 3   − 19 + 19 2   8 − 9   10 − 8  1 a + a + a +  = a+  = a+ 80 2 40 3   40   12   80  2 = 1 1 a+ 2 40 10 32 5 2 3 1 1 2 2 1 x − xy + y 2 con − xy − y 2 + restar la suma x 2 − y 2 + xy 5 6 9 2 3 4 9 3 9 17 2 22 32 1 con x− xy − y − 45 9 2 2 De la suma de  3 2 5 2 2  3 1 2 1   2 2 1 2 2   17 2 22 3 2 1   5 x − 6 xy + 9 y  +  − 2 xy − 3 y + 4  −  9 x + 9 xy − 3 y  +  45 x − 9 xy − 2 y − 2   =       3 2  5 3   2 2 1 2  1   2 2 17 2   1 22   2 2 3 2  1   5 x +  − 6 xy − 2 xy  +  9 y − 3 y  + 4  −  9 x + 45 x  +  9 xy − 9 xy  +  − 3 y − 2 y  − 2  =            3 2  − 10 − 18   2 − 3 2  1   10 + 17 2   1 − 22   − 4 − 9 2  1  xy  +  y  +  −  x + xy  +  y −  =  5 x +  12  9  4   45 9  6  2  1 1   27 21 13 1 3 7 1 1  3 7 13 1  3 2 28 x− xy − y 2 +  −  x 2 − xy − y 2 −  =  x 2 − xy − y 2 +  −  x 2 − xy − y 2 −  = 5 12 9 4   45 9 6 2 5 3 9 4  5 3 6 2  32 7 1 13 7 13 1 3 37 7 1 13   1 1  x − xy − y 2 + − x 2 + xy + y 2 + =  x 2 − x 2  +  − xy + xy  +  − y 2 + y 2  +  +  = 5 3 9 45 3 6 2 5 5 3 3 9 6  4 2  3 − 3 2   − 7 + 7   39 − 2 2   1 + 2  37 2 3 x + xy  +  y + y+  = 4 5  3   18   4  18 = 37 2 3 y+ 18 4 11 23 13 3 3 1 1 1 1 a − b con − a 2b + ab 2 + b3 de la suma de a 2b + ab 2 − 7 5 4 8 10 2 4 5 52 1 2 33 1 con − a b + ab − b − 4 8 2 2 Restar la suma de  1 2 1 2 1  5 2 1 2 3 3 1   2 3 1 3   3 2 3 2 1 3   2 a b + 4 ab − 5  +  − 4 a b + 8 ab − 2 b − 2  −  7 a − 5 b  +  − 4 a b + 8 ab + 10 b  =        1 2 5 2   1 2 1 2  3 3  1 1   2 3 3 2 3 2  1 3 1 3   2 a b − 4 a b  +  4 ab + 8 ab  − 2 b +  − 5 − 2  −  7 a − 4 a b + 8 ab +  − 5 b + 10 b  =          2 − 5 2   2 + 1 2  3 3  − 2 − 5   2 3 3 2 3 2  2 − 1 3   4 a b  +  8 ab  − 2 b +  10  −  7 a − 4 a b + 8 ab +  10 b  =          − 3 2   3 2  3 3  − 7   2 3 3 2 3 2  1 3   4 a b  +  8 ab  − 2 b +  10  −  7 a − 4 a b + 8 ab +  10 b   =         3 2 3 3 7  2 3 3 2 3 2 1 3 32  − 4 a b + 8 ab − 2 b − 10  −  7 a − 4 a b + 8 ab + 10 b  =    3 3 3 72 3 3 1 − a 2b + ab 2 − b 3 − − a 3 + a 2b − ab 2 + b3 = 4 8 2 10 7 4 8 10 2 3 3 17 3  3 3 − a 3 +  − a 2b + a 2b  +  ab 2 − ab 2  +  − b3 + b3  − = 7 4 8 10  10 4  8 2 2  − 3 + 3 2   3 − 3 2   − 15 + 1 3  7 a b +  ab  +  b − = − a3 +  7 4 8   10  10 2 2 7 7  − 14 3  7 b  − = − a 3 − b3 − − a3 +  7 7 5 10  10  10 2 7 7 = − a3 − b3 − 7 5 10 12 De 5 4 24 1 1 2433 2 5 m − n restar la suma de m 2 n 2 − mn3 − n 4 ; m + m n − m 2n 2 + n 4 con 14 5 3 4 7 5 5 3 14 73 1 2 m− m n + m 2n2 − n4 14 20 4 3 33 2 2 2 5 4  1 4 7 3 1 2 2 2 4 1 2 2 1 3 4 2 4  m n − mn − n  +  m + m n − m n + n  +  m − m n + m n − n  = 4 5 5 3   14 20 4 3 3  7 7 3  1 2 2 2 2 2 1 2 2  1 3  2 4 5 4 2 4 1 4 3 3 4  m + m  +  m n − m n  +  m n − m n + m n  − mn +  − n + n − n  = 14   5 20 5 4 3 7  3 4 3   4 + 1 4   12 − 7 3   20 − 24 + 15 2 2  1 3  − 2 + 5 − 3 4  m + m n +  m n  − mn +  n =  60 3  14   20  4    5 4   5 3   11 2 2  1 3  0 4   m  +  m n  +  m n  − mn +  n  =  14   20   60 4 3  5 1 11 1 = m 4 + m 3 n + m 2 n 2 − mn 3 4 14 4 60 11 2 2 1 3   5 4 5 4  1 3 11 2 2 1 3 2 4  5 4 2 4  5 4 1 3 14 m − 5 n  − 14 m + 4 m n + 60 m n − 4 mn  = 14 m − 14 m  − 4 m n − 60 m n − 4 mn − 5 n =      5 − 5 4  1 3 11 2 2 1 3 2 4  14 m  − 4 m n − 60 m n − 4 mn − 5 n =   1 11 1 2  0 4  1 3 11 2 2 1 3 2 4 m  − m n − m n − mn − n = − m 3 n − m 2 n 2 − mn 3 − n 4 14  4 60 4 5 4 60 4 5  1 11 1 2 = − m3 n − m 2 n 2 − mn 3 − n 4 4 60 4 5 13 De 5 restar la suma de 1 1 3 1 2 1 1 1 3 x+ y; y − z ; z + m; − m+ n + 2 3 4 6 5 4 2 3 8 [5 ]−  1 x + 1 y  +  3 y − 1 z  +  2 z + 1 m  +  − 1 m + 1 n + 3  =      3  4 6  5 42 3 8   2 [5 ]−  1 x +  1 y + 3 y  +  − 1 z + 2 z  +  1 m − 1 m  + 1 n + 3  =     2 46 5  4 23 8 3   [5 ]−  1 x +  4 + 9 y  +  − 5 + 12 z  +  1 − 2 m  + 1 n + 3  =        12   30 4 2 [5 ]−  1 x + 13 y + 7 z + 1 m + 1 n + 3  = 2 12 30 4 3 8   1 13 7 1 1 3 5− x− y − z − m− n− = 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1  3 − x − y − z − m − n + 5 −  = 2 12 30 4 3  8 3 8 1 13 7 1 1  40 − 3  − x− y− z − m− n+ = 2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1  3 − x − y − z − m − n + 5 −  = 2 12 30 4 3  8 1 13 7 1 1  37  − x− y− z − m− n+  2 12 30 4 3 8 1 13 7 1 1 37 = − x− y− z − m− n+ 2 12 30 4 3 8 14 313 1 3 5 3 2 3 1 2 − a + a 4 de la suma a 3 − a + a 4 ; − a + 5 − a 2 ; − a 3 + a 2 − ; 8 12 2 5 6 8 3 4 6 3 3 4 1 3 39 8 − a + a + a+ 8 6 40 11 Restar  5 4 1 3 3   2 2 3 8   4 1 3 3    3 3 1 2 2   3 4 1 3 39  6 a + 2 a − 5 a  +  − 3 a − 8 a + 5  +  − 4 a + 6 a − 3  +  − 8 a + 6 a + 40 a + 11   − a − 12 a + 8  =         5 4 3 4   1 3 3 3 1 3   2 2 1 2   3 3 39   3 2   4 1 3 3   6 a − 8 a  +  + 2 a − 4 a + 6 a  +  − 3 a + 6 a  +  − 5 a − 8 a + 40 a  +  5 + 11 − 3  − a − 12 a + 8  =          20 − 9 4   6 − 9 + 2 3   − 4 + 1 2   − 24 − 15 + 39   165 − 22 + 9   4 1 3 3  a+  − a − a +  =  24 a  +  12 a  +  6 a  +  40 33 12 8         11 4   − 1 3   − 3 2   0   152   4 1 3 3   24 a  +  12 a  +  6 a  +  40 a  +  33  − a − 12 a + 8  =          11 4   − 1 3   − 3 2   0   152   4 1 3 3   24 a  +  12 a  +  6 a  +  40 a  +  33  − a − 12 a + 8  =          11 4 1 3 1 2 152   4 1 3 3   24 a − 12 a − 2 a + 33  −  a − 12 a + 8  =    11 4 1 3 1 2 152 1 3 a− a− a+ − a4 + a3 − = 24 12 2 33 12 8 1 3 1 3  1 2  152 3   11 4 4  − =  a −a  + − a + a  − a +  12  2  24   12  33 8   11 − 24 4   − 1 + 1 3  1 2  1216 − 99  a + a − a +  =  24   12 2  264   − 13 4   0 3  1 2  1117  − 13 4 1 2 1117 a + a − a + a− a+  = 2 264  24   12  2  264  24 − 13 4 1 2 1117 a− a+ 24 2 264 =